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La phénoménologie des objets mathématiques chez Desanti

Dominique Pradelle
p. 75-94

Résumés

L’objet de cet article est d’élucider le sens de la pensée de Desanti relativement aux objets mathématiques, qui tient dans la formule : « faire comprendre quel est le statut des objets mathématiques et quel est le mode d’existence des théories ». On a tenté de le faire en montrant comment Desanti réinterprète et infléchit les notions fondamentales de la pensée husserlienne : conception de l’épochè comme neutralisation des thèses philosophiques traditionnelles permettant de s’approcher au plus près des savoirs positifs ; mise en question du statut d’objet et d’essence simple des idéalités du fait de leur caractère intra-théorique ; mise en question du remplissement, non plus conçu comme intuition donatrice d’objet, mais comme enrichissement discursif des déterminations du concept ; enfin, mise en cause de l’idée de constitution transcendantale, au profit d’une pluralisation des formes de la mathesis. Se dessine ainsi la possibilité de rendre raison de l’être sui generis et de l’historicité des idéalités mathématiques autrement que par un réalisme ou un idéalisme transcendantal.

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Texte intégral

Des êtres parfaits, imprévus, s’offriront à tes expériences
Rimbaud, Illuminations, « Jeunesse »

  • 1  Jean-Toussaint Desanti, « Les Idéalités mathématiques », entretien avec Maurice Caveing, in : Le P (...)
  • 2  Jean-Toussaint Desanti, Un destin philosophique, Paris, Hachette Littératures, 2008, p. 340. Nous (...)

1Le problème fondamental de Desanti s’énonce comme une question d’ontologie régionale, à savoir celle du mode d’être spécifique aux théories mathématiques et du statut d’objectualité de leurs objets thématiques : « L’objet de ce travail est de faire comprendre quel est le statut des objets mathématiques et quel est le mode d’existence des théories »1 ; « l’objet des Idéalités mathématiques : montrer et déployer les modalités de “co-présence” du “théorème” et de la “théorie” »2. L’interrogation porte sur le mode de présence des théories mathématiques, ce qui implique trois problèmes distincts. D’une part, une interrogation sur le mode d’apparaître des théories : prises dans le comment de leur manifestation au sujet mathématicien, quel est le statut ontologique des théories ? ont-elles un mode d’être analogue à celui des choses matérielles, c’est-à-dire un mode d’identité et de persistance face à la conscience ? comment se caractérise leur mode d’apparaître subjectif, c’est-à-dire l’articulation entre les actes du sujet et les modes d’évidence en lesquels elles s’attestent comme valides ? D’autre part, une interrogation sur le mode d’articulation avec les autres domaines d’objets au sein du monde : les théories se trouvent-elles dans une connexion spécifique avec les choses matérielles, ainsi qu’avec les objets culturels ? leurs structures spécifiques se laissent-elles entrevoir dans celles des choses perceptives, et leur connaissance est-elle conditionnée et préfigurée par les activités culturelles ? Enfin, en deçà de l’apparaître des théories, une interrogation sur leur mode de production dans l’histoire : celui-ci renvoie-t-il aux actes producteurs d’une conscience absolue ? La position husserlienne, qui reconduit les objets à leur mode de visée et d’attestation par les actes de la conscience pure, permet-elle d’élucider le mode de production des objectités mathématiques ? Dans sa critique de la phénoménologie husserlienne, Cavaillès avait mis en doute la possibilité de reconduire la production des objets idéaux aux actes producteurs d’une conscience pure, et appelé à la repenser de façon non subjective, à partir de la structure des champs d’idéalités ; le mode d’être et l’historicité sui generis des mathématiques imposent-ils donc de renoncer au primat de la conscience constituante ?

Inversion du sens de l’épochè husserlienne

2Posons un problème de méthode : s’agit-il, pour l’épistémologue qui interroge le mode d’apparaître subjectif des théories, de mettre en suspens l’être en soi de leurs champs d’objets, afin de revenir à la corrélation a priori entre les actes intentionnels et modes d’évidence du sujet pur, et le sens et la validité des objets intentionnels qui s’y donnent ? Théories et champs d’objets mathématiques sont-ils pris comme un exemple de transcendance qu’il conviendrait de mettre entre parenthèses ?

  • 3  Ibid, p. 323.
  • 4  Formule de la Physique d’Aristote citée par Desanti dans l’Introduction de la deuxième édition de (...)
  • 5  Jean-Toussaint Desanti, Les Idéalités mathématiques, Avant-propos, Paris, Seuil, 1968, p. IV.
  • 6  Jean-Toussaint Desanti, « Le Langage des idéalités », in : Le Philosophe et les pouvoirs, op. cit.(...)
  • 7  J.-T. Desanti, Idéalités, Avant-propos, p. IV.

3Non. De la démarche husserlienne d’épochè, Desanti ne retient que l’épochè épistémique – mise en suspens de tout savoir préalable, consistant à faire vœu de pauvreté en matière de théorie pré-constituée –, mais non l’épochè ontologique – suspension de l’être des objets pris pour thèmes d’élucidation philosophique – : « interdiction d’importer dans l’examen du domaine d’objets dont l’analyse m’incombait les exigences propres à une “théorie” pré-constituée »3. Pratiquer la « bonne épochè », c’est se placer dans la disposition d’être anankasthentes hyp’alêthéias, « contraints par le manifeste »4 : il s’agit de mettre en suspens la validité des théories toutes faites, de déconstruire les blocs de certitudes (notamment philosophiques), bref de « détruire la forme reçue du concept » ou de « tuer le Phénix : la forme traditionnelle de la “conscience philosophante” »5, afin de laisser se manifester selon ses modalités propres et d’accueillir ce dont il est question, sans criblage préalable par une conceptualité pré-constituée – et ce pour la raison que les concepts et thèse livrées par la tradition ont pu être élaborés dans d’autres régions de phénomènes que celle des théories mathématiques. C’est là une application du « principe des principes » énoncé par Husserl au § 24 des Ideen… I, qui impose comme matrice méthodique de toute démarche phénoménologique le retour à l’intuition originairement donatrice de l’objet en laquelle il atteste les contours de son sens ontique et de sa validité ontologique. Mais au lieu d’être interprété, dans le cadre de la réduction phénoménologique, comme une exigence de récession depuis la sphère transcendante des objets à celle des données immanentes que sont les phénomènes ou modes d’apparaître subjectifs, il s’agit d’un retour aux objets apparaissants, pris dans leur mode d’apparition. Il s’agit donc d’une phénoménologie noématique, qui demeure dans l’orientation directe sur les objets afin de « laisser la chose à son pur paraître, sans la “poser” »6, sans amorcer le retour aux actes noétiques où la consistance des objets est supposée trouver son origine. Loin d’imposer la suspension de validité de toute transcendance, la description impose au contraire de « dépayser le regard philosophique »7 en l’investissant dans les savoirs positifs et leurs exigences propres : il s’agit d’abord de refaire les mathématiques, de suivre à la lettre leurs enchaînements démonstratifs et opératoires, afin de laisser apparaître les contours de l’objet corrélatifs à ces exigences. Loin de neutraliser la donation de l’objet, on la laisse au contraire s’imposer.

  • 8  Id., « Les idéalités mathématiques », art. cit., pp. 190-191.

4S’agissant des théories mathématiques, cela implique une ascèse du regard philosophant : il ne faut pas se laisser guider par un ensemble de thèses préalables entre lesquelles il s’agirait de trancher – l’intuitionnisme, selon lequel l’objet est le corrélat d’une procédure de construction effectuable, le formalisme, selon lequel l’objet est le corrélat ontologique d’un système formalisé d’axiomes cohérent et complet, le réalisme, selon lequel les objets et vérités mathématiques existent indépendamment de la conscience, le kantisme, selon lequel les objets mathématiques sont le produit de constructions synthétiques dans les intuitions pures, etc. La philosophie des mathématiques n’est pas réductible au choix argumenté d’une thèse pré-constituée parmi l’ensemble des thèses disponibles, par rapport auquel l’examen des théories ne servirait que de mine d’exemples où trouver des arguments destinés à fonder une thèse ou à en réfuter une autre ; il s’agit au contraire de mettre en suspens toutes ces thèses, dans la mesure où elles font écran à la manifestation effective des théories mathématiques, et de se laisser capter par les exigences d’effectuation propres au savoir positif tel qu’il se lit, s’apprend, se transmet et se reformule8. L’épochè ne s’exerce pas sur les savoirs positifs pré-constitués, mais sur les thèses philosophiques traditionnelles.

L’être en soi et l’idéalité en question

5Quel est le statut phénoménologique des théories et champs d’objets mathématiques, pris dans leur mode d’apparition ? Possèdent-ils, à l’instar des choses du monde extérieur, le statut d’ob-jets (Gegen-stände), c’est-à-dire de quelque chose qui s’étend là devant (-jectum), possède une consistance propre face à la conscience (gegen-) et une identité persistante indépendante de ses actes (Stand, stans) ? Ce statut est exprimé par le concept husserlien d’idéalité ou d’objet idéal :

  • 9  Ibid., p. 186.

6Un objet mathématique n’est pas une chose, ce n’est pas une table ou un caillou, mais c’est un objet idéal. Cela veut dire que, pour pouvoir poser un tel objet comme existant et le maintenir comme existant, il importe d’effectuer les systèmes de propriétés qui le caractérisent, ou au moins de disposer d’une loi permettant une telle effectuation9.

  • 10  Edmund Husserl, Erfahrung und Urteil, Hambourg, Glaassen Goverts, 1954, § 64b, pp. 306-308 (trad. (...)
  • 11 Ibid., § 64c, pp. 65, 311-314, 319 (trad. fr., pp. 313-316, 322).
  • 12 Ibid., § 65, p. 323 (trad. fr., pp. 325-326).

7Que signifie le concept husserlien d’objet idéal ? Ce dernier s’oppose à l’objet réal, qui appartient à la réalité spatio-temporelle de la nature. Celui-ci est individué par une durée concrète découpée sur le temps mondain et une étendue concrète découpée sur la spatialité mondaine ; il est donné dans une perception sensible et une forme de synthèse passive et continue, c’est-à-dire une appréhension en une seule strate qui ne présuppose pas d’objets pré-donnés, mais se fonde sur des affections sensibles qui ne sont pas elles-mêmes données comme objets10. Par contraste, les objets idéaux ne sont pas individués par une position temporelle dans la durée et l’étendue mondaines, mais sont en quelque sorte partout et nulle part, susceptibles de se répéter et d’être donnés à l’identique en n’importe quel temps, donc caractérisés par l’identité omni-temporelle11 ; ils se donnent en étant produits (erzeugt) dans une synthèse d’identification multi-radiale (vielstrahlig) qui est à la fois articulée et fondée sur la donation d’objets pré-donnés de rang inférieur, et engendre par un acte de liaison une nouvelle objectité ; une fois produits, ils sont saisissables à nouveau comme les mêmes par quiconque effectue les opérations nécessaires ; enfin, les idéalités ne possèdent pas simplement un sens au même titre que tout objet réal (le sens objectal, gegenständlicher Sinn), mais un sens de second degré (Sinn zweiter Stufe) ou sens de sens (Sinnes-Sinn), dans la mesure où il leur appartient par essence d’être sens de…, signification de…, et d’être visés par la médiation d’objets corporels réals dont elles forment la signification12.

8Ce concept d’idéalité exprime-t-il le mode d’être des théories mathématiques ? Desanti exige l’épochè des concepts pré-constitués, au motif que de tels concepts ont été élaborés dans d’autres régions d’objets et de manifestation que celle dont il s’agit. Or tel est justement le cas du concept d’objet idéal : loin de se restreindre aux théories mathématiques et aux « objets » formels corrélatifs, il désigne tout objet culturel en général, qui se présente sur un soubassement réal comme possédant une identité intersubjective et omnitemporelle ; n’est-il pas, en conséquence, trop large pour exprimer la spécificité des mathématiques ?

9La spécification des idéalités adéquate à l’être des théories mathématiques est la suivante : s’il existe quelque chose de tel que des objets mathématiques, ils sont strictement corrélatifs à un ensemble de procédures opératoires (définissant les opérations ou calculs possibles dans leur domaine) et démonstratives (qui permettent d’en établir les propriétés). Par exemple, l’objet 1 n’a de consistance que comme élément primitif de l’opération de comptage, puis comme élément neutre pour la multiplication, comme unité fondamentale permettant de définir les entiers par récurrence, comme classe d’équivalence de tous les singletons, etc. D’une part, de tels objets ont précisément le statut d’ob-jets ou d’obstants, c’est-à-dire de pôles intentionnels qui ne s’offrent qu’à une conscience qui se fait mathématicienne en acceptant d’accomplir les gestes nécessaires au maintien de leur sens ; d’autre part, ils impliquent une certaine praxis théorétique opérée sur des signes sensibles, donc s’incarnent dans des idéalités morphologiques douées d’une invariance graphique idéale sur lesquelles le mathématisant doit opérer en formant des suites correctes ; enfin, loin d’avoir une forme d’existence isolée ou autonome, ils possèdent un statut intra-théorique ou holiste, c’est-à-dire interne à une théorie, système réglé de signes où s’explicitent et se démontrent leurs propriétés. Tout cela permet repenser le statut ontologique de tels objets :

  • 13  Jean-Toussaint Desanti, La Philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975, p. 226-227.
  • 14  J.-T. Desanti, « Le langage des idéalités », in Le Philosophe et les pouvoirs, p. 304.

ces sortes d’objets qui n’ont de statut que relationnel et ne sont accessibles que dans le système de possibilités réglées ouvertes par les relations qui les définissent. […] une « idéalité » mathématique n’est rien d’autre qu’une indication de procédure opératoire ou démonstrative. Seule une procédure d’écriture le fixe comme « objet »13.
dans le champ mathématique, l’expression « il y a un “objet” désigné par “a” » veut dire « “a” est un terme qui désigne un opérable ». Cela veut dire que l’on ne peut parler de l’« existence » d’un objet mathématique que dans une région intra-théorique (intra-discursive) bien déterminée et stabilisée14.

  • 15  « Entre des Objets il faut pouvoir définir une relation d’identité (réflexive – symétrique – trans (...)

10Ce statut intra-théorique des idéalités a un sens radicalement anti-cartésien : il n’y a pas d’essence simple qui serait intuitionnable isolément, en l’absence de tout contexte théorique enveloppant un domaine de co-objets, d’opérations et de procédures démonstratives ; l’essence de cercle ou de triangle n’est pas isolable du domaine des figures planes, ni de ses relations avec les essences de droite, d’angle, de segment ou de distance, ainsi qu’avec la relation de non-parallélisme entre droites. De ce statut holiste ou intra-théorique témoigne une simple nécessité : loin d’assimiler l’identité d’un objet à l’auto-subsistance d’un substrat ontologique idéal hors de la conscience et indépendamment de ses actes, on ne peut parler d’identité que si l’on dispose de la relation d’égalité comme relation d’équivalence (réflexive, symétrique et transitive), c’est-à-dire comme objet intra-théorique relationnel ; l’identité cesse ainsi de désigner l’identité extra-théorique et en soi de substrats idéaux, mais se réfère à l’égalité comme relation intra-théorique15. Aussi le statut des idéalités exclut-il par principe tout réalisme ou platonisme mathématique – ce qu’exprime la thèse selon laquelle les mathématiques ne sont pas du Ciel :

  • 16  Id., La Philosophie silencieuse, 225.

Il n’existe nulle part un univers d’êtres mathématiques, un en soi mathématique auquel les mathématiques pratiquées par les hommes donneraient accès. Le réalisme des structures me paraît absurde et – en dernier ressort – ne pouvoir se soutenir que d’une théologie16.

  • 17  Albert Lautman, « Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques », in Les mat (...)

11« Réalisme des structures » est un titre qui vise la thèse d’Albert Lautman selon laquelle il existe des structures mathématiques purement formelles (groupe, anneau, corps, idéal, relation d’équivalence, relation d’ordre…) qui préexistent à la production historique effective de théories mathématiques, lesquelles ne font que les incarner et les approcher17 ; admettre l’être en soi de telles structures, c’est poser des entités mathématiques en-dehors de toute discursivité réglée et de toute praxis théorétique effective ; or, ces structures ne pouvant être visées, thématisées et définies que par la médiation d’enchaînements discursifs et grâce à une praxis normée par un ensemble de règles, il est absurde de poser leur subsistance indépendamment de toutes ces procédures qui garantissent leur accessibilité.

12Cependant, si l’idée d’idéalité permet d’évacuer l’artéfact conceptuel de l’en soi mathématique, les propriétés qui définissent un objet idéal (omni-temporalité, intersubjectivité) ne sont-elles pas trop fortes pour convenir aux objectités mathématiques ? Les objets et théories mathématiques possèdent-ils une identité et une validité omni-temporelles, à la fois rétrospectives et prospectives ?

  • 18  « Il n’y a pas de raison […] pour que le domaine des “objets” acceptables soit limité une fois pou (...)

13En premier lieu, si la notion d’objet est strictement corrélative à l’emploi réglé de la relation d’égalité, le domaine des objets n’est pas délimité une fois pour toutes, mais peut être enrichi en fonction des procédures opératoires et des propriétés d’objets et de champs d’objets18. L’historicité des idéalités ne signifie pas simplement l’inscription de leur connaissance subjective dans le temps des générations de savants, mais aussi et surtout leur mode d’existence intra-historique : elles apparaissent dans le temps de la productivité historique. Plusieurs modalités de cet enrichissement des domaines d’idéalités ont été désignées par les analyses de Cavaillès : adjonction d’idéaux permettant de transformer en loi de composition interne une opération non toujours effectuable au sein d’un ensemble initial (la soustraction dans N) ; thématisation pour elle-même d’une structure au départ inhérente à un domaine initial, que l’on prend désormais pour objet d’investigation en dehors de cet investissement naturel (structure de groupe en général) ; enfin, réflexion d’un opérateur sur lui-même (topologie des transformations topologiques). Les domaines d’objets ne sont pas fixés sub specie aeternitatis, mais ont un mode d’émergence dans le temps de la productivité idéale : on ne saurait poser leur omni-temporalité rétrospective, sauf à idéaliser les conditions de leur accessibilité et à scinder celle-ci de toute effectivité ; ainsi le zéro et les nombres négatifs étaient-ils par principe inaccessibles aux Grecs.

  • 19  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 157.
  • 20  Ibid., p. 156.

14Qu’en est-il, en second lieu, des propriétés corrélatives que sont l’omni-temporalité prospective et l’intersubjectivité ? Une fois constituées, les idéalités ne demeurent-elles pas accessibles comme acquis permanents d’une communauté intersubjective indéfiniment extensible ? Ne jouissent-elles donc d’une persistance et d’une intersubjectivité indéfinies ? Certes, les théories et objets intra-théoriques déjà constitués jouissent d’une certaine stabilité : on peut y revenir, les comprendre, en réeffectuer les démarches opératoires et démonstratives. Cependant cette stabilité porte en soi la marque de sa relativité et de son essentielle fragilité : la théorie ancienne étant toujours à refaire, un texte mathématique n’est qu’un document, c’est-à-dire un simple indicateur de procédures opératoires à réeffectuer, et la subsistance de la théorie ne possède aucun sens en dehors de cette possibilité de réeffectuation19. En d’autres termes, le maintien de l’unité d’un objet, domaine ou théorie est le corrélat d’un horizon de réactivation du sens, qui reconduit lui-même à un horizon d’effectuation de procédures discursives20 :

  • 21  J.-T. Desanti, « Le langage des idéalités », art. cit., p. 186.

Une théorie mathématique n’est jamais donnée une fois pour toutes. Bien entendu, elle conserve toujours une certaine stabilité, mais en même temps, elle manifeste une mobilité essentielle21.

  • 22  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 155-156.

15Or y a-t-il des limites à la réactivabilité du sens, c’est-à-dire à la réeffectuabilité des opérations ? Se peut-il qu’une théorie, bien que consignée en un corpus de documents, disparaisse, s’avérant non réactivable ? En droit, il n’existe pas de borne à la réactivation ; mais de facto, certaines théories peuvent nous devenir étrangères. Desanti cite l’exemple des mathématiques babyloniennes : consignées sur des tablettes anciennes, elles ne sont pas radicalement inaccessibles à tout effort de réactivation, puisqu’on peut y lire un système de numération, des systèmes de nombres, des procédures et algorithmes calculatoires, des types de problèmes ; mais ces champs d’idéalités sont inertes, au sens où personne ne peut plus s’y installer comme en un domaine où produire de nouveaux théorèmes ; ils ont le statut de vestige, d’arrière-monde mathématique qui ne peut plus être mobilisé comme un chantier de théorisation22. Bref, ces mathématiques sont réactivables, mais non réactualisables ; leur sens est présentifiable, peut faire l’objet d’une évidence, mais ne peut être rendu actuel ; elles sont disponibles comme horizon de réactivation, mais ont disparu comme horizon d’effectuation. C’est dire que l’omni-temporalité rétrospective demeure fragile, car suspendue aux possibilités de re-thématisation et de remise en chantier des domaines théoriques.

  • 23  E. Husserl, Erfahrung und Urteil, op. cit., § 64c, p. 313 (trad. fr., p. 316).
  • 24  J.-T. Desanti, Idéalités, p. 9.
  • 25  Jean-Toussaint Desanti, « Sur le devenir de la science », in René Poirier (éd.) : Entretiens en ma (...)
  • 26  Ibid., p. 263.

16Certes, objectera-t-on, mais il convient ici – comme le fait Husserl – de distinguer identité et validité (Geltung) omni-temporelles23 : que les mathématiques babyloniennes soient mortes pour nous, cela signifie qu’elles n’ont plus pour nous de validité théorique susceptible de servir de sol à une nouvelle productivité ; mais elles demeurent toutefois accessibles dans l’identité idéale de leur sens, qui peut être toujours à nouveau réalisée. L’omni-temporalité de la validité serait donc fragile et susceptible d’évanescence, tandis que celle de l’identité demeurerait inaltérable, et garante de la pérennité des objets. Cependant cette invariance omni-temporelle du sens est à son tour fragilisée par l’essence même de l’interprétation, prise comme acte épistémologique rétrospectif qui demeure fonction de l’horizon de sens actuel : certes le lecteur d’Euclide, en son travail de réactivation, est censé neutraliser son horizon contemporain pour redevenir mathématicien à la manière d’Euclide, dont il tentera de réaccomplir les procédures et de remobiliser les contextes ; mais la lecture s’effectue toujours depuis la perspective du présent de la théorisation, dans la mesure où c’est toujours à l’aide de la conceptualité actuelle que l’on réactive les édifices théoriques anciens. Ainsi, « on ne pouvait lire Archimède avant la découverte du calcul infinitésimal, comme on l’a lu après »24 ; de même, on ne lit plus la théorie des proportions d’Euclide de la même façon depuis l’arithmétisation de l’analyse et la thématisation par Dedekind du corps des nombres réels ; et Dirichlet et Gauß s’offrent en perspective depuis Riemann et sa théorisation des espaces n-dimensionnels à courbure variable25. C’est dire que l’identité du sens idéal doit être affranchie du paradigme de l’identité substantielle des choses matérielles : un concept, une théorie sont corrélatifs à un projet théorétique, et sont par là réductibles à des moments d’un procès génétique ancien ; mais « le projet, dans son présent, a eu à se réaliser dans un champ dont il n’était pas entièrement maître »26, c’est-à-dire dont le sens débordait les possibilités de thématisation de l’époque, et porte en soi la marque de son inachèvement et de son surplus de sens ; c’est la thématisation actuelle qui manifeste rétrospectivement ce sens dans son inachèvement, comme horizon porteur de potentialités noétiques à venir. Le sens mathématique n’est donc pas refermé sur soi comme un noyau invariant et indépendant de toute effectuation noétique ; il possède au contraire le mode d’être de l’historicité (Geschichtlichkeit), c’est-à-dire qu’il déploie son ipséité sous forme d’un horizon de théorisation en devenir.

L’objet et le remplissement en question

  • 27  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., Einleitung, Hua XIX/2, p. 541-542 (trad. fr., R (...)
  • 28  Edmund Husserl, Ideen… I, § 3, Hua III/1, 14 (trad. fr. de Paul Ricœur, Idées directrices pour une (...)
  • 29  E. Husserl, Ideen… I, § 3, Hua III/1, p. 14-15 (trad. fr., pp. 21-22) ; Martin Heidegger, Prolegom (...)
  • 30  Edmund Husserl, Ideen… III, § 15, 16, Hua V, pp. 82, 85-86 (trad. fr. de Dorian Tiffeneau, La Phén (...)

17Mettre en question la statut d’objet des idéalités, c’est interroger la possibilité et la pertinence de l’analogie entre les ontologies matériales et formelle, sur laquelle repose le dégagement de concepts essentiels de la phénoménologie. Ainsi en va-t-il des concepts d’intuition, de perception et d’objet : la Sixième Recherche affirme la nécessité d’élargir les concepts corrélatifs de perception et d’objet27, et le premier chapitre des Ideen… I pose que les essences sont des objets au même titre que les choses perceptives individuelles, et qu’il existe une intuition des essences analogue à l’intuition de ces dernières – avant d’ajouter qu’il ne s’agit pas là d’une analogie extrinsèque, mais de l’identité générique des essences corrélatives d’objet et d’intuition28. Or cette dernière se définit par les caractères suivants : tout d’abord le fait d’être une donation directe de l’objet lui-même (Selbstgegebenheit), commun à la perception, à l’imagination, au ressouvenir et à l’intuition d’essence par opposition à tous les modes de donation indirects ou par représentation (conscience d’image ou de signe de l’objet) ; ensuite, le caractère spécifique d’incarnation de la donnée (Leibhaftigkeit), qui distingue la perception ou l’intuition (quel qu’en soit le type d’objet intentionnel, individuel ou général) de l’imagination et du ressouvenir, et renvoie à la fois à l’actualité temporelle de l’objet (pour la perception sensible) et à l’ancrage dans des données sensibles effectives29. Ces traits eidétiques génériques de l’intuition sont censés valoir pour l’intuition d’essence, en particulier pour l’intuition catégoriale au sens étroit, à savoir l’intuition donatrice d’essences purement formelles, dépourvues de teneur matériale et référées à de purs moments structurels de connexion entre objectités (les formes syntaxiques comme et, ou, etc., et les formes ontologiques comme ensemble, nombre cardinal, nombre ordinal) : de telles formes sont censées être données dans une forme d’évidence qui les livre directement et en personne comme des objets, c’est-à-dire des significations ou concepts formels qui, s’attestant comme valides, font l’objet d’une position et acquièrent ainsi le statut d’essences30.

  • 31  E. Husserl, Logische Untersuchungen, § 14, Hua XIX/1, pp. 56-57 (trad. fr., tome II/1, pp. 57-59).

18Or est-ce réellement le cas ? La visée présomptive d’un sens ou d’une signification doit se transformer en intuition donatrice grâce au remplissement (Erfüllung) de la visée ; mais quel est le statut de ce qui remplit la visée et se donne à titre de corrélat ? La Première Recherche comporte une ambiguïté fondamentale quant à l’être du contenu remplissant : il est décrit tour à tour comme sens remplissant (erfüllender Sinn) et comme objet (Gegenstand)31. Or, selon que le contenu remplissant est décrit comme sens ou comme objet, le statut du procès de remplissement se définit de manière foncièrement distincte : s’il s’agit du sens, le remplissement conserve un statut discursif et demeure dans l’élément de la signification ; s’il s’agit en revanche d’un objet, il acquiert le statut proprement intuitif d’une donation directe d’objet. La question fondamentale s’avère donc la suivante : le remplissement a-t-il toujours un statut discursif, ou dépasse-t-il la discursivité vers la possession en chair et en os d’un objet ? Telle est la question que Desanti pose d’une manière transversale à tous les types d’intuition, avant de la restreindre au champ des idéalités formelles.

  • 32  Vincent Gérard a donné de ce texte une présentation complète à l’occasion de journées d’études org (...)
  • 33  J.-T. Desanti, « Trajet dans les Idéalités mathématiques », in Analytica, vol. 36, 1984.
  • 34  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 40, Hua XIX/2, p. 659 (trad. fr., III, p. 161).

19Dans l’article « Trajet dans les Idéalités mathématiques »32, il trace un parallèle entre le remplissement de plusieurs expressions types – un nom propre visant un objet inanimé (« le Panthéon »), une description définie visant un événement passé (« la bataille de Waterloo »), un énoncé méta-mathématique (« “1+0 =1” est un théorème de l’arithmétique ») et un objet mathématique ([1,0])33. Vu que, selon Husserl, la visée des noms propres peut servir de paradigme pour l’analyse du remplissement en général, ce sont les deux premiers exemples qui fournissent le fil conducteur analogique de l’analyse de l’intuition catégoriale ; que nous apprennent-ils ? L’on sait que pour Husserl, la visée reposant sur le nom propre « Cologne » se remplit lorsque je m’y rends et que j’ai la ville de Cologne sous les yeux, ou que je présentifie l’image que j’en garde si j’y suis allé par le passé34. Or est-ce vraiment le cas ? Le remplissement est-il toujours identique à l’auto-donation de l’objet ?

20L’analyse de la visée du Panthéon révèle tout autre chose. Le Panthéon se situe en effet au confluent de toutes les visées que je puis effectuer en situation perceptive, et se caractérise par un excédent par rapport à tout ce que je puis en dire ; c’est l’index rejeté à l’infini de toutes les explicitations que j’en puis faire, le substrat de tout ce que j’en puis dire, c’est-à-dire le foyer de l’horizon interne infini des déterminités que je puis dévoiler en l’énonçant comme étant « ceci » ou « cela ». « Panthéon » apparaît par conséquent, non comme un désignateur rigide référé à un objet donné en personne dans la perception – la visée de signification étant alors appelée à se dépasser vers la perception –, mais comme l’indicateur d’un horizon discursif de déterminités infini, référé à la possibilité de parler de l’objet ; laisser se remplir la visée vide aiguillée par un nom propre, ce n’est donc pas laisser se présenter dans l’intuition l’objet individuel qu’il désigne, mais enrichir discursivement le faisceau de déterminités qui s’y attache. Le remplissement de la visée ne se réfère pas à un pouvoir percevoir dans la sphère solipsiste, mais à un pouvoir parler dans le champ discursif et intersubjectif :

  • 35  « Trajet dans les Idéalités mathématiques », in Analytica, vol. 36, 1984, p. 60 (nous soulignons).

L’intervention de signification de l’expression « Panthéon », bien qu’elle concerne en dernière instance un objet individuel « physique », qu’un geste peut désigner dans le champ de perception, n’est jamais remplie par la seule donnée de cet objet « en personne ». Pour peu qu’une variation du champ de perception affecte le mode de manifestation de l’objet, cet objet ne vit plus que de la possibilité de parler à un sujet qui se trouve en suspens dans son intention de discours35.

  • 36  « Trajet », op. cit., p. 61.

21L’exemple de la bataille de Waterloo est plus net encore. Il s’agit cette fois d’un événement passé dont je n’ai pas été témoin, qui ne se réfère donc pas à l’un de mes vécus originaires et ne saurait s’offrir en personne dans une présentification par le ressouvenir. Cela exclut-il radicalement tout remplissement de la visée de l’événement ? À l’évidence, non : prendre connaissance de cet objet historique, c’est lire des traités d’histoire qui en retracent et en expliquent le surgissement, les enjeux, le dénouement et les effets ultérieurs ; à mesure que j’enrichis le substrat « bataille de Waterloo » des déterminités fournies par la recherche historienne se remplit la visée, non de la simple signification de l’expression, mais de l’objet qu’elle désigne ; le substitut de l’intuition donatrice de l’objet est, en ce cas, la prise de connaissance progressive de ses propriétés par le discours que je puis tenir – discours qui se réfère à ceux que les autres, acteurs et témoins, puis historiens, ont pu tenir. Se dévoile ainsi, derechef, « l’état de suspens du sujet dans un champ de discursivité ouvert » qui le place « en situation “intentionnelle” relativement aux effectuations de sens »36. D’une part, jamais le domaine de la discursivité n’est dépassé par la donation intuitive et en personne de l’objet, mais le remplissement demeure l’effectuation d’un sens remplissant ; d’autre part, le sujet placé dans cette situation discursive demeure en suspens, dans la mesure où l’objet visé demeure l’index rejeté à l’infini de toutes les énonciations discursives que je puis effectuer à son propos ; enfin, mon discours déterminant se situe dans un champ de discursivité intersubjectif où le discours premier n’est pas le mien, lequel est toujours déjà précédé par un passé culturel plus vieux que ma subjectivité.

  • 37  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 40, Hua XIX/2, p. 658 (trad. fr., III, p. 161).

22Tentons d’appliquer aux visées d’objets purement catégoriaux cet arrachement du remplissement au paradigme de la donation intuitive, et du thème à celui de l’objet perceptif. La question du remplissement des intentions de signification purement catégoriales est posée par Husserl à propos des catégories syntaxiques – du type et, ou, tous les…, etc., qui doivent avoir une valeur paradigmatique pour les catégories ontologiques ensemble, cardinal, ordinal, etc. –, et résolue de manière présomptive. Il s’agit en effet de savoir si toutes les parties de la signification peuvent donner lieu à un remplissement intuitif, notamment les parties purement formelles ou syntaxiques : le est de la proposition « je vois que ce papier est blanc », le quelque et le tous les des propositions « quelque S est P » et « tous les S sont P » peuvent-ils se donner dans une intuition37 ? De telles formes syntaxiques, ne correspondant à rien dans les objets papier ou S, ne sauraient se remplir par l’intuition perceptive de ces objets ; cependant, sur le fondement de la perception du papier blanc a lieu l’intuition de l’état de choses être-blanc de ce papier, qui à son tour enveloppe, ou du moins doit impliquer la donation catégoriale de ses moments formels :

  • 38  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 44, Hua XIX/2, p. 668 (trad. fr., III, p. 172, no (...)
  • 39  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 45, Hua XIX/2, p. 671 (trad. fr., III, p. 175, no (...)

Le « est » […] est donné en personne, ou du moins présumé donné (vermeintlich gegeben) dans le remplissement qui, éventuellement, s’ajuste au jugement : à savoir dans l’aperception de l’état de choses présumé38.
[…] il faut en tout cas qu’il y ait là un acte (es muß jedenfalls ein Akt da sein) qui, aux éléments catégoriaux de la signification, rende les mêmes services que ceux que la simple perception sensible rend à ses éléments matérials39.

  • 40  E. Husserl, Logische Untersuchungen, IV. Unt., § 9b, Hua XIX/1, p. 323 (trad. fr., II/2, p. 108).

23Le geste essentiel de Desanti consiste ici à prendre au sérieux le caractère purement présomptif, et non proprement phénoménologique, de ces thèses. Husserl reconnaît en effet la nécessité analogique qu’advienne un remplissement de la visée des éléments formels, comme c’est le cas pour les éléments matérials ; mais jamais n’a lieu l’ostension intuitive, grâce à la réflexion sur les vécus, de la structure effective d’un tel procès de remplissement ; la seule chose qu’on en sache, c’est qu’il ne peut avoir lieu isolément, mais se fonde sur l’intuition d’un état de choses et l’accompagne40 :

  • 41  « Trajet », op. cit., pp. 63-64.

Donc quelque intuition devait remplir les intentions catégoriale (du type + ou du type des connexions logiques). Mais Husserl n’a jamais pu exhiber une telle intuition. Il lui a donc cherché un « tenant lieu », un représentant. Et il a été si peu satisfait du résultat de sa recherche qu’il a abandonné la notion de « représentant ». Peut-être a-t-il eu tort de renoncer. Peut-être […] eût-il dû réfléchir à neuf aux raisons pour lesquelles il lui avait fallu précisément chercher un tenant lieu de cette intuition absente.
Il est bien possible en effet que le « sujet mathématisant » n’ait jamais affaire à autre chose qu’à des « tenant lieu »41.

  • 42  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 27, Hua XIX/2, p. 624 (trad. fr., III, p. 119).

24C’est ici que se joue le déplacement essentiel. Que signifie le concept de représentation représentative (Repräsentation) dans la théorie husserlienne ? Il intervient dans l’analyse intentionnelle de tous les actes, qu’ils soient objectivants (par exemple la perception du papier) ou aient pour fondement une objectivation (par exemple son évaluation esthétique) : en tout acte, on peut distinguer la qualité (c’est-à-dire le mode de croyance, de souhait, de doute…) et la Repräsentation qui leur sert de fondement ; celle-ci enveloppe à la fois la forme de l’appréhension (signitive ou intuitive, perceptive ou imaginative), la matière de l’appréhension (à savoir le « sens » qui représente l’objet) et les contenus appréhendés (signes ou contenus exposants)42. Dans le cas d’objets perceptifs, la Repräsentation inclut la modalité perceptive, le noème perceptif (l’objet pris dans son mode d’apparition, p. ex. donné sous une seule face) et les contenus sensoriels qui exposent les aspects sensibles de l’objet ; dans le cas d’objets individuels désignés par un signe, elle inclut la conscience de signe, le signe comme désignateur et le sens qui définit l’objet. Mais qu’enveloppe-t-elle dans le cas de la catégorie syntaxique et, ou de l’idéalité mathématique [0,1] ?

25Pour Husserl s’impose un rupture de parallélisme avec la sphère sensible. En effet, alors qu’en celle-ci un même objet peut s’exposer par des contenus réels variables, dans la sphère catégoriale en revanche « la forme du et est partout la même », c’est-à-dire que la matière d’appréhension (le noème) est absolument invariante ; la catégorie syntaxique et ne s’esquisse pas à travers des profils changeants, mais se donne toujours par un seul et même sens. Quant au vécu subjectif qu’est la saisie de ce sens (analogue à la perception sensible de la face de l’objet qui s’offre), il demeure certes indéterminé ; mais il doit y avoir une différence entre les formes d’appréhension que sont les visées vide et remplie de la catégorie, à laquelle doit correspondre une distinction entre les contenus exposants et les sens déterminants corrélatifs : dans le cas de la visée vide, les contenus sont les signes et le sens réside dans la signification déterminante, tandis que dans le cas de la visée remplie, ce sont les représentants mentaux de la forme et la catégorie saisie. Le concept de Repräsentation ne désigne donc pas un tenant lieu, mais l’ensemble formé par les contenus exposants et le sens déterminant.

26Or l’interprétation, par Desanti, de la Repräsentation comme « tenant lieu » implique un glissement de sens essentiel. Loin de s’identifier à la catégorie elle-même, la matière de l’appréhension réside alors dans les « significations qui la déterminent différemment », c’est-à-dire dans l’ensemble du sens discursif qui permet d’expliciter l’horizon interne de ses propriétés ; corrélativement, loin d’être des contenus exposants internes à la conscience, les contenus saisis se limitent à des signes figurant dans les propositions où s’explicitent les propriétés de la catégorie ; enfin, loin d’être une donation perceptive de la catégorie, la forme de l’appréhension est la conscience discursive d’un ensemble de propositions. Au total, l’ensemble du procès de remplissement bascule dans la discursivité, sans jamais rejoindre le niveau d’une intuition donnant l’objet catégorial en personne :

  • 43  « Trajet », op. cit., p. 64.

Aussi loin que vous poursuiviez l’analyse, vous ne serez jamais en présence d’un tel « objet », qui s’offre toujours en « abîme »43.

  • 44  Jean-Toussaint Desanti, « “Production” des concepts en mathématiques », in : La Philosophie silenc (...)

27C’est ce que confirme l’analyse de l’exemple offert par l’intervalle fermé [0,1]. En apparence, l’expression possède la fonction d’un nom propre désignant un objet bien déterminé, à savoir l’ensemble des nombres compris entre 0 et 1 ; l’indication des bornes suffit en effet à exclure tout nombre négatif et tout nombre positif supérieur à 1. Cependant, que trouve-t-on réellement à l’intérieur des bornes ? Un intervalle continu, qui ne comprend pas seulement les entiers, ni même les nombres rationnels, mais les nombres réels compris entre 0 et 1. Or cela suppose que l’on ait construit l’ensemble des réels par une procédure d’engendrement à partir des rationnels (coupures de Dedekind, suite convergentes de Cantor), distingué la propriété de continuité de la simple densité, démontré la validité ou la non-contradiction du résultat obtenu, et défini dans cet ensemble la relation d’ordre « , la possibilité de construire des suites ; la construction mobilise ainsi une stratification de couches théoriques déjà constituées, sans qu’on rejoigne jamais un sol infra-mathématique à partir duquel on assisterait à l’émergence du mathématique comme tel44. Inversement, une fois défini l’intervalle [0,1], il est possible d’en rechercher les propriétés, p. ex. de lui attribuer la puissance du continu – ce qui mobilise une nouvelle couche théorique, à savoir une théorie de la cardinalité et des cardinaux transfinis.

  • 45  Cfr. J.-T. Desanti, Les Idéalités mathématiques, p. 85.
  • 46  « Trajet », op. cit., p. 59.
  • 47  J.-T. Desanti, Introduction à la Phénoménologie, p. 21.

28Le remplissement de l’objet catégorial ne présente donc jamais la structure de simple donation en personne d’un objet sous le regard, mais celle, complexe et progressive, de l’ouverture d’un chantier de théorisation où le concept catégorial forme un thème ou un pôle en suspens, ouvert sur un double horizon de discursivité : d’une part, l’horizon de provenance – c’est-à-dire celui des strates de sens pré-constituées qu’enveloppe sa construction – ; d’autre part, l’horizon de thématisation – c’est-à-dire d’explicitation indéfinie de propriétés et de structures de cet objet, puis des propriétés elles-mêmes ou des champs et structures connexes. Ainsi, la notion d’objet perd toute connotation réaliste de substantialité ou de subsistance indépendante, autant que de consistance invariable. Il nous faut désormais distinguer trois sens du concept d’objet : en premier lieu, le corrélat d’un acte de thématisation (à ce titre, un prédicat ou une relation peuvent être pris pour thèmes dans l’unité d’une conscience) ; en second lieu, le substrat de propriétés ou terme de relations, c’est-à-dire argument ou variable possible de prédicats dans un domaine45 ; enfin, le tode ti, ceci là accessible dans une donation en personne et pourvu d’un fonds de propriétés essentielles explicitables sur le fondement de cette donation. De ces trois acceptions, dont la première est la plus primitive et la seconde davantage que la troisième, nous ne pouvons, dans le champ des idéalités mathématiques, conserver que la première : est objet le pôle en suspens d’un intérêt théorétique, foyer d’une pluralité d’actes discursifs, sans qu’on puisse en faire la référence d’une intuition donatrice, ni même lui accorder le statut ontologique de substrat de propriétés et de relations. Objet : pôle d’un chantier de théorisation en devenir. Le statut de l’objet se définit ainsi uniquement par référence à la structure intentionnelle de toute conscience, selon laquelle « tout penser est orienté sur un point d’arrêt »46, sans présupposition quant à la possibilité de donation et au statut ontologique de ce point d’arrêt, qui demeure en suspens et en attente de sens vérifiable. Le manifeste s’avère d’essence irréductiblement signitive47.

La conscience constituante en question

  • 48  J.-T. Desanti, Les Idéalités mathématiques, p. III.

29Qu’en est-il, enfin, du sujet comme instance constituante, productrice du sens objectal et opératrice des évidences en lesquelles se donnent les objets ? Est-il la région-source où les idéalités trouvent l’origine de leur sens et la garantie de leur validité ? Si les idéalités ne sont pas à proprement parler des objets subsistants, mais les thèmes en suspens d’actes discursifs, et si l’attente du sens mathématique ne se soutient que de procédures normées sur des signes écrits, les sujets mathématiciens ne sont-ils pas des créateurs d’objectivité, enrichissant le monde de nouvelles entités catégoriales dans une historicité sui generis ? Si « la Mathématique s’est produite », c’est-à-dire offre des champs d’objets spécifiques qui ne se sont pas donnés d’un seul coup, sub specie aeternitatis, mais dans une progressivité dont les enchaînements ne sont pas d’emblée évidents48, l’usage du réfléchi se produire ne renvoie-t-il pas à l’unité noétique d’un produire, d’une activité mathématicienne qui engendrerait continûment ses champs d’objets et théories ?

30La position de Desanti à cette question demeure invariante :

  • 49  J.-T. Desanti, « Langage », p. 292.
  • 50  J.-T. Desanti, « Les Idéalités mathématiques », art. cit., p. 194.
  • 51  Les Idéalités mathématiques, p. 290.

le “moi” ne constitue rien qui ait un statut mathématique49 ;
la conscience ne fait rien ; elle est simplement investie dans son champ d’objets50.
un personnage s’est effacé : c’est le sujet constituant qui, réduit au statut de spectateur anonyme, n’a été rien d’autre que le mode, chaque fois spécifique, de manifestation de son objet51.

  • 52  « Les idéalités mathématiques », art. cit., p. 193-194.

31Pourquoi ? Pour quelle raison assiste-t-on, en cours d’analyse, à la « destruction du point de vue phénoménologique »52 – c’est-à-dire de la thèse selon laquelle l’ego pur serait l’origine ontologique du sens et de la validité de ces objets spécifiques que sont les idéalités mathématiques ?

  • 53 Cartesianische Meditationen, § 41, Hua I, p. 116-117, 118 (trad. fr., et p. 132 133).
  • 54  Jean-Toussaint Desanti, « Réponse à la première lettre », in : Un Destin philosophique, p. 325.

32On le comprendra en se référant aux « Réflexions sur le concept de mathesis ». La thèse ontologique de l’idéalisme constitutif est énoncée par Husserl au § 41 des Cartesianische Meditationen : « tout ce qui est pour la conscience se constitue en elle-même », « toute espèce d’étant, concret et idéal, devient compréhensible comme formation de la subjectivité transcendantale »53 ; autrement dit, tout étant est réductible à du sens intentionnel visé par les noèses de la conscience, toute idéalité est redevable de sa teneur à ses actes d’instauration originaire (Urstiftung), et sa validité se fonde sur les actes de validation qui la reconduisent à des modes d’évidence indubitable. Or cela suppose deux choses essentielles : d’une part, la position d’un « ego itinérant, fondateur, omni-regardant, omniprésent, omni-parlant et, pour tout dire, omni-digérant »54 auxquels tous les étants soient par principe accessibles dans des modes d’évidence actualisables ; d’autre part, que les idéalités (théories mathématiques et champs d’objets associés) soient engendrées par la spontanéité productrice d’un ego dont les structures noétiques essentielles demeureraient invariantes. Double présupposition : celle d’un principe de fermeture phénoménologique qui rend tout point du champ des idéalités réductible à du sens et donnable dans l’évidence, et celle d’un principe de fermeture constitutive qui le rend productible par les actes de la conscience. Ce qui implique le caractère unitaire du champ noématique des idéalités comme domaine de sens soluble dans l’évidence potentielle, de même que celui du champ de la spontanéité instauratrice de sens comme espace de déploiement d’une unique activité constituante qui ne fait que se décliner selon diverses formes sans perdre son unité. Or telle est précisément la double unité que déconstruit Desanti.

  • 55  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 197, 207.
  • 56  Ibid., p. 196-197, 217-218.

33Il part en effet, dans ce texte, de l’a priori de corrélation husserlien, adoptant pour fil conducteur la langue grecque – où les suffixes -ma et -sis désignent respectivement le produit d’une activité et l’activité elle-même – pour l’appliquer aux mathématiques : on y trouverait une corrélation entre les mathemata – corpus de textes mathématiques et champs d’idéalités associés – et la mathesis – ensemble des formes d’activité de la conscience mathématicienne, normées par un ensemble de règles morphologiques de formation et de reproduction des énoncés, et de règles déductives d’administration de la preuve. Partant d’un corpus de textes mathématiques, on opérerait une forme d’épochè en les traitant comme indices d’une praxis théorétique encadrée par un système de règles explicites (d’ordre syntaxique), mais aussi de normes implicites. Si l’on convient alors d’appeler mathesis la forme d’activité mathématicienne qui produit et maintient dans leur unité les théories et champs d’objets idéaux55, la question essentielle est de savoir s’il existe une seule ou plusieurs matheseis, c’est-à-dire s’il y a une forme invariante d’activité productrice normée des idéalités, ou s’il existe dans l’histoire des fractures essentielles qui scindent des régions théoriques hétérogènes renvoyant à des styles distincts de theoria. Telle est la thèse de Desanti : il existe dans l’histoire des régions théorétiques hétérogènes d’activité mathématisante, normées par des systèmes distincts de règles et de normes plus ou moins implicites – qui règlent les procédures de formation syntaxique, de déduction et d’admission de nouveaux objets. L’histoire n’est donc pas coextensive à une forme invariante et unitaire d’activité noétique, mais éclate en une pluralité de régions idéales et de styles théorétiques afférents56.

  • 57  J.-T. Desanti, « Les idéalités mathématiques », p. 193.
  • 58  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 201-203.
  • 59 Ibid., p. 209.

34L’analyse d’un exemple permet de mettre en évidence une mathesis de type euclidien – le théorème 2 du livre XII des Eléments, qui affirme l’égalité du rapport des aires de deux cercles et du rapport des carrés de leur diamètre respectif. Pour ce faire, Desanti quitte la méthode phénoménologique de description des objets et de réflexion intentionnelle, pour « entrer dans l’épaisseur du champ d’objets » et dégager la « relation entre l’implicite et l’explicite »57, c’est-à-dire mettre en évidence les relations de l’énoncé explicite à certains domaines implicites servant de schèmes régulateurs. D’une part, une médiation conceptuelle : le problème étant d’admettre le cercle et l’arc de cercle parmi les grandeurs mesurables, il s’agit d’opérer une « bonne extension » ontologique, à savoir une construction légitime de nouveaux objets à partir des anciens – ce qui renvoie à un champ de possibilités opératoires réglées et médiatisées par le concept central de proportion. Ensuite, une médiation heuristique : l’approximation de l’aire du cercle est rendue possible par la méthode d’exhaustion, multiplication à loisir du nombre de côtés d’un polygone intérieur au cercle. Puis une médiation ontologique : il est interdit, au plan déductif, d’utiliser la méthode de passage à la limite qui permettrait de passer du polygone au cercle – et ce en vertu du principe d’immutabilité et d’incommunicabilité des essences ou substances (ousiai) de polygone et de cercle. Médiation démonstrative, enfin : la démonstration du théorème repose sur l’usage de la preuve par l’absurde, elle-même fondée sur une logique bivalente régie par la loi du tiers exclu, et sur le principe de trichotomie de la relation d’ordre 58. Ces domaines implicites témoignent de l’immanence d’une mathesis : à savoir une normativité à la fois conceptuelle et intra-mathématique (théorie des proportions), logique (tiers exclu et trichotomie), ontologique et extra-mathématique (immutabilité de l’ousia). La surface accessible du corpus textuel renvoie ainsi implicitement à la présence oblique d’une mathesis59 : les normes de rigueur syntaxique, de même que les interdictions d’ordre méthodologique (celle du passage à la limite) et ontologique (refus de l’existence d’objets fluents comme les grandeurs infinitésimales, du zéro parmi les nombres entiers), renvoient, au plan noématique, à la co-présence d’une région théorique à tout objet simple, et, au plan noétique corrélatif, à celle d’un style et d’un système de possibilités et impossibilités d’effectuation des actes de pensée.

35Revenons à la question initiale : pourquoi Desanti refuse-t-il la thèse ontologique husserlienne, celle de l’idéalisme constitutif qui assimile tout étant à du sens intentionnel visé et validé par une conscience pure ? C’est qu’une telle thèse présuppose la coextensivité de la totalité des objets intentionnels – ici, celle des mathemata – à l’activité constituante d’une même conscience, c’est-à-dire à une mathesis invariante, entendue comme activité théorétique de style mathématisant et se déployant dans l’unité d’une histoire. Or existe-t-il une telle unité omni-temporelle ou transhistorique de la mathesis ? Est-il possible d’unifier le champ de la praxis théorétique des mathématiques ?

36Il existe plusieurs manières de tenter d’assurer ou de fonder l’unité de la mathesis : noématique, infra-mathématique et noétique.

  • 60 Ibid., p. 209-210.

371/ D’abord, une unification noématique. Au XXe siècle, les mathématiques paraissent unifiables par un ensemble de théories structurales susceptibles de rendre compte à la fois de la structure des théories et des champs d’objets associés. Ainsi, partant des mathématiques structurales contemporaines, il est possible d’effectuer une lecture rétrospective de l’histoire des mathématiques qui en détemporalise les productions idéales ; on peut neutraliser l’historicité de la thématisation effective des mathemata – p. ex. le fait que la structure de groupe ait été mise en évidence par Galois –, en effacer les dimensions d’origine et de devenir pour décrypter dans les théories anciennes les préfigurations inconscientes de ces structures – en voyant p. ex. dans la théorie des proportions d’Eudoxe (aux nombres négatifs près) un équivalent de notre corps des réels. Par ce geste épistémologique récursif, l’historien acquiert une ubiquité théorétique qui lui permet de réactiver les anciens édifices théoriques en les traduisant dans le langage structural moderne ; les théories et champs d’objets anciens apparaissent alors non comme du passé périmé, mais comme du passé réactivable et intégrable au champ théorique contemporain. On peut ainsi concevoir l’histoire comme celle de l’inscription théorique progressive de structures très générales (groupe, corps, anneau, espace connexe, compact, etc.) dans des édifices théoriques60.

38Quelle est la difficulté d’une telle position ? C’est qu’il devient impossible de rendre compte de l’historicité différenciée des mathématiques, qui a été préalablement neutralisée : la lecture récurrente fait apparaître telle théorie comme découverte implicite d’une structure thématisée plus tard dans sa pureté, mais sans que soit dévoilé le temps spécifique de cette découverte, son articulation avec les champs théoriques voisins ou implicitement convoqués. Il apparaît donc nécessaire de restituer et de thématiser ce temps de la productivité effective, où le présent de la thématisation renvoie à une praxis mathématicienne effective, à son inscription dans une situation mathématique déterminée et à son rapport à des domaines théoriques implicites.

  • 61 Ibid., pp. 17-22.

392/ Symétriquement, la deuxième solution est l’unification transcendantale par l’efficace constituante d’un sujet non mondain, condition de toute apparition d’un objet en général, quel qu’en soit le statut. Ce style d’unification, inauguré par Kant, fut renouvelé par la phénoménologie transcendantale husserlienne. Il implique, chez les deux philosophes, une méthode réflexive visant à transposer les corpus d’énoncés mathématiques dans le champ des possibilités subjectives, donc à les intérioriser au sujet comme des possibilités noétiques qui en seraient constitutives. C’est vrai chez Kant : partant des mathématiques effectives qu’il prend comme un système de jugements, il s’attache à saisir l’essence de ces derniers (leur caractère synthétique a priori), puis la spécificité des actes subjectifs qui en garantissent la validité (la construction de concepts), afin de postuler au sein du sujet transcendantal, les structures a priori censées assurer l’effectuabilité d’une telle construction (intuitions pures et catégories). Tel est le style transcendantal d’unification des mathématiques par leur pôle subjectif : loin de parcourir dans son effectivité la production historique des idéalités, on voit dans le sujet pur l’instance médiatrice nécessaire à…, ou la condition de possibilité de toute apparition d’énoncés portant sur des objets idéaux de ce type ; le concept de sujet désigne ainsi l’ensemble des structures noétiques qui sous-tend la possibilité de production d’un savoir de type mathématique61.

  • 62  Husserl, Cartesianische Meditationen, § 22, Hua I, p. 90 (trad. fr., p. 99).

40De Kant à Husserl, les présuppositions s’épurent, mais le style d’élucidation demeure. D’un côté, Husserl prenant au sérieux l’historicité de la raison mathématicienne, le sujet transcendantal cesse d’être présupposé comme un ensemble de structures noétiques invariantes et anhistoriques dont le système des facultés, la table des jugements, celle des concepts purs et celle des principes seraient les déclinaisons. Cependant demeure le style transcendantal et réflexif : il s’agit toujours de transcrire réflexivement les énoncés mathématiques et les objets idéaux dont ils traitent en actes judicatifs produisant ces types d’énoncés, modes d’évidence qui en garantissent la validité, modes d’évidence donateurs des objets thématisés, et visées intentionnelles qui en instaurent le sens possible. Au fil conducteur du principe selon lequel toute espèce d’objet prescrit dans le sujet une structure régulatrice corrélative62, il devient ainsi possible d’expliciter réflexivement les types de visées, d’évidences et d’actes judicatifs qui doivent habiter le sujet à titre de possibilités pour que puissent advenir une production et une validation de théories mathématiques. On mesure l’épuration de l’élucidation transcendantale par rapport à Kant : plus de sujet transcendantal supposé invariant (quoique corrélatif à la physique newtonienne), plus d’architectonique fixe de facultés, de formes a priori et de catégories, mais un sujet dont les gestes noétiques se réduisent à l’intériorisation du type d’objets idéaux traités à un moment de l’histoire.

41Qu’y a-t-il, dans une doctrine transcendantale aussi minimale, qui apparaisse comme un présupposé impossible à assumer ?

  • 63  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 210-211.
  • 64  Cf. Edmund Husserl, « Der Ursprung der Geometrie », Hua VI, 367 (trad. fr. de Jacques Derrida, L’O (...)

42Tout d’abord, une fois transposé au champ mathématique, le principe ontologique selon lequel tout étant est constitué par l’ego pur signifie que tout objet mathématique, tout énoncé et toute théorie sont constitués par l’ego : tous les mathemata possibles sont redevables de leur sens et de leur validité aux actes constituants du sujet transcendantal63. Le principe de fermeture constitutive devient ainsi coextensif à l’histoire totale des mathématiques : le sujet husserlien ne correspond plus à un type particulier de mathématique, mais se rapporte à l’horizon historique indéfini d’un avenir mathématique de même style64 ; et de fait, lorsqu’il élucide les structures noétiques qui rendent possible la praxis mathématicienne, Husserl n’exhibe que des types d’actes généraux, susceptibles de convenir à toute forme historique d’activité mathématicienne – évidence d’un objet idéal en général, itérabilité indéfinie d’une opération, évidence de la non-contradiction, acte de formalisation donnant accès à des ensembles, cardinaux et structures formelles. Or peut-on ainsi se référer à la multiplicité indéterminée « tous les mathemata possibles », et en présupposer le caractère consistant ? Peut-on, parallèlement, présupposer l’identité et l’invariance de la structure égologique associée, censée porter en soi la possibilité de constitution de cette totalité de mathemata ? Bref, est-il possible d’unifier le champ des mathemata possibles, afin d’en faire le corrélat d’une praxis théorétique unitaire et progressive ?

  • 65  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 211.

Sur ce point, la critique formulée par Cavaillès a été, on le sait, décisive. On ne pourra jamais décider de la question de savoir si la structure égologique, « constituante », n’est pas la simple intériorisation (la prise de possession) d’une structure déjà constituée65.

43Qu’est-ce à dire ?

  • 66  Ibid., p. 207.

44En premier lieu, il est douteux que le domaine des mathemata possibles puisse être considéré comme un champ unitaire, et probable qu’il existe des régions hétérogènes de mathemata régis par des normes distinctes de formation d’énoncés et de construction d’objets : dans l’arithmétique euclidienne, 0 et les nombres négatifs n’étaient pas des nombres ; « les nombres négatifs n’étaient pas “absents” ; ils n’existaient à aucun degré »66 ; de même, les espaces non euclidiens n’existent pas dans la mathématique classique. La totalité des mathemata possibles est une multiplicité inconsistante, parce qu’en évolution historique constante qui en interdit la saisie complète et close ; ce n’est que par un geste de traduction épistémique rétrospectif que l’on peut faire apparaître l’objet « totalité des mathemata passés », mais en recouvrant les fractures entre des domaines hétérogènes où tel ou tel type d’objets n’avait pas encore, ou plus d’existence.

45Corrélativement, l’hétérogénéité des régions de mathemata renvoie à celle des types de mathesis : l’activité théorétique correspondant aux théories et champs d’objets est normée par des interdictions et prescriptions d’ordre syntaxique (usage du tiers exclu et de la réduction à l’absurde), ontologique (inexistence des nombres négatifs, des grandeurs évanouissantes, principe d’immutabilité de l’ousia) et heuristique (méthode d’exhaustion) – un ensemble de possibilités et d’impossibilités d’effectuation subjectives qui se situent dans le champ mathématique, ou aux frontières de ce champ. Or, si l’on peut poser que les théories sont des productions des sujets mathématiciens, il est plus difficile de l’admettre pour les systèmes de normes qui régissent la praxis théorétique à une époque de l’histoire : loin d’instaurer explicitement le système de normes, le sujet mathématicien se définit à l’inverse par l’intériorisation de structures normatives déjà constituées. Le sujet n’est donc plus constituant, mais constitué : loin qu’une unique conscience pure puisse parcourir l’histoire de manière à totaliser l’ensemble des mathemata, c’est la pluralité des régions d’idéalités hétérogènes qui appelle et définit en retour une pluralité de sujets théorétiques normés. Telle est donc la tâche ultime de l’épistémologue : partir des corpus théoriques pour y lire les indices d’unification et de fracture permettant de distinguer des époques hétérogènes de la theoria, donc des styles de praxis théorétique qui déterminent des types de conscience théoricienne. On s’achemine ainsi vers une doctrine de l’historicité striée de la subjectivité.

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Notes

1  Jean-Toussaint Desanti, « Les Idéalités mathématiques », entretien avec Maurice Caveing, in : Le Philosophe et les pouvoirs et autres dialogues, Paris, Hachette Littératures, 2008, p. 186.

2  Jean-Toussaint Desanti, Un destin philosophique, Paris, Hachette Littératures, 2008, p. 340. Nous rectifions le texte, évidemment fautif.

3  Ibid, p. 323.

4  Formule de la Physique d’Aristote citée par Desanti dans l’Introduction de la deuxième édition de Jean-Toussaint Desanti, Introduction à la phénoménologie, Paris, Gallimard, 1994, pp. 16, 28.

5  Jean-Toussaint Desanti, Les Idéalités mathématiques, Avant-propos, Paris, Seuil, 1968, p. IV.

6  Jean-Toussaint Desanti, « Le Langage des idéalités », in : Le Philosophe et les pouvoirs, op. cit., p. 291.

7  J.-T. Desanti, Idéalités, Avant-propos, p. IV.

8  Id., « Les idéalités mathématiques », art. cit., pp. 190-191.

9  Ibid., p. 186.

10  Edmund Husserl, Erfahrung und Urteil, Hambourg, Glaassen Goverts, 1954, § 64b, pp. 306-308 (trad. fr. de D. Souche, Expérience et jugement, Paris, PUF, 1970, pp. 309-311).

11 Ibid., § 64c, pp. 65, 311-314, 319 (trad. fr., pp. 313-316, 322).

12 Ibid., § 65, p. 323 (trad. fr., pp. 325-326).

13  Jean-Toussaint Desanti, La Philosophie silencieuse, Paris, Seuil, 1975, p. 226-227.

14  J.-T. Desanti, « Le langage des idéalités », in Le Philosophe et les pouvoirs, p. 304.

15  « Entre des Objets il faut pouvoir définir une relation d’identité (réflexive – symétrique – transitive), la plus fine des relations d’équivalence » (J.-T. Desanti, « Langage », p. 303) ; de même Jean-Toussaint Desanti, « Sur la notion d’objet en mathématiques », in : Le Trimestre psychanalytique, 1991, pp. 60-61.

16  Id., La Philosophie silencieuse, 225.

17  Albert Lautman, « Essai sur les notions de structure et d’existence en mathématiques », in Les mathématiques, les idées et le réel physique, Paris, Vrin, 2006, p. 125.

18  « Il n’y a pas de raison […] pour que le domaine des “objets” acceptables soit limité une fois pour toutes. » (J.-T. Desanti, « Langage », p. 303). De même J.-T. Desanti, « Sur la notion d’objet… », p. 61 : « ces clauses d’égalité […] permettent, dans le champ qu’elles délimitent, d’enrichir les domaines d’objets. […] Pour qui respecte ces règles il n’y a pas, a priori, de borne imposée à ces possibilités d’extension ».

19  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 157.

20  Ibid., p. 156.

21  J.-T. Desanti, « Le langage des idéalités », art. cit., p. 186.

22  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 155-156.

23  E. Husserl, Erfahrung und Urteil, op. cit., § 64c, p. 313 (trad. fr., p. 316).

24  J.-T. Desanti, Idéalités, p. 9.

25  Jean-Toussaint Desanti, « Sur le devenir de la science », in René Poirier (éd.) : Entretiens en marge de la science nouvelle, Paris, Mouton et Co, 1963, p. 262-263.

26  Ibid., p. 263.

27  Edmund Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., Einleitung, Hua XIX/2, p. 541-542 (trad. fr., Recherches logiques, tome III, Paris, PUF, 19742, pp. 15-16).

28  Edmund Husserl, Ideen… I, § 3, Hua III/1, 14 (trad. fr. de Paul Ricœur, Idées directrices pour une phénoménologie, Paris, Gallimard, 1950, p. 21). E. Husserl, Logische Untersuchungen, § 53, Hua XIX/2, p. 694 (trad. fr., III, p. 200).

29  E. Husserl, Ideen… I, § 3, Hua III/1, p. 14-15 (trad. fr., pp. 21-22) ; Martin Heidegger, Prolegomena zur Geschichte des Zeitbegriffs, § 5c, GA 20, pp. 48-55 (trad. fr. d’A. Boutot, Prolégomènes à l’histoire du concept de temps, Paris, Gallimard, 2006, pp. 66-72 ; leibhaft y est hélas traduit par corporellement, Leibhaftigkeit par corporéité) ; Didier Franck, Chair et corps, Paris, Minuit, 1981, pp. 20-28.

30  Edmund Husserl, Ideen… III, § 15, 16, Hua V, pp. 82, 85-86 (trad. fr. de Dorian Tiffeneau, La Phénoménologie et les fondements des sciences, Paris, PUF, 1993, pp. 99, 102).

31  E. Husserl, Logische Untersuchungen, § 14, Hua XIX/1, pp. 56-57 (trad. fr., tome II/1, pp. 57-59).

32  Vincent Gérard a donné de ce texte une présentation complète à l’occasion de journées d’études organisées par Jocelyn Benoist et nous-même les 5 et 6 juin 2009 à l’université Paris IV et aux Archives Husserl de Paris : « Reconnaître, vérifier, confirmer : autour de la théorie phénoménologique du “remplissement” ».

33  J.-T. Desanti, « Trajet dans les Idéalités mathématiques », in Analytica, vol. 36, 1984.

34  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 40, Hua XIX/2, p. 659 (trad. fr., III, p. 161).

35  « Trajet dans les Idéalités mathématiques », in Analytica, vol. 36, 1984, p. 60 (nous soulignons).

36  « Trajet », op. cit., p. 61.

37  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 40, Hua XIX/2, p. 658 (trad. fr., III, p. 161).

38  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 44, Hua XIX/2, p. 668 (trad. fr., III, p. 172, nous soulignons).

39  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 45, Hua XIX/2, p. 671 (trad. fr., III, p. 175, nous soulignons).

40  E. Husserl, Logische Untersuchungen, IV. Unt., § 9b, Hua XIX/1, p. 323 (trad. fr., II/2, p. 108).

41  « Trajet », op. cit., pp. 63-64.

42  E. Husserl, Logische Untersuchungen, VI. Unt., § 27, Hua XIX/2, p. 624 (trad. fr., III, p. 119).

43  « Trajet », op. cit., p. 64.

44  Jean-Toussaint Desanti, « “Production” des concepts en mathématiques », in : La Philosophie silencieuse, p. 87.

45  Cfr. J.-T. Desanti, Les Idéalités mathématiques, p. 85.

46  « Trajet », op. cit., p. 59.

47  J.-T. Desanti, Introduction à la Phénoménologie, p. 21.

48  J.-T. Desanti, Les Idéalités mathématiques, p. III.

49  J.-T. Desanti, « Langage », p. 292.

50  J.-T. Desanti, « Les Idéalités mathématiques », art. cit., p. 194.

51  Les Idéalités mathématiques, p. 290.

52  « Les idéalités mathématiques », art. cit., p. 193-194.

53 Cartesianische Meditationen, § 41, Hua I, p. 116-117, 118 (trad. fr., et p. 132 133).

54  Jean-Toussaint Desanti, « Réponse à la première lettre », in : Un Destin philosophique, p. 325.

55  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 197, 207.

56  Ibid., p. 196-197, 217-218.

57  J.-T. Desanti, « Les idéalités mathématiques », p. 193.

58  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 201-203.

59 Ibid., p. 209.

60 Ibid., p. 209-210.

61 Ibid., pp. 17-22.

62  Husserl, Cartesianische Meditationen, § 22, Hua I, p. 90 (trad. fr., p. 99).

63  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 210-211.

64  Cf. Edmund Husserl, « Der Ursprung der Geometrie », Hua VI, 367 (trad. fr. de Jacques Derrida, L’Origine de la géométrie, Paris, PUF, 1962, p. 175).

65  J.-T. Desanti, La Philosophie silencieuse, p. 211.

66  Ibid., p. 207.

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Pour citer cet article

Référence papier

Dominique Pradelle, « La phénoménologie des objets mathématiques chez Desanti », Revue germanique internationale, 13 | 2011, 75-94.

Référence électronique

Dominique Pradelle, « La phénoménologie des objets mathématiques chez Desanti », Revue germanique internationale [En ligne], 13 | 2011, mis en ligne le 15 mai 2014, consulté le 17 août 2017. URL : http://rgi.revues.org/1126 ; DOI : 10.4000/rgi.1126

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Auteur

Dominique Pradelle

Maître de conférences à l’Université Paris IV

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Droits d’auteur

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